Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Densité f : f(x) 0 et aire totale _I f(x)\,dx = 1 • Pour tout point isolé : P(X = c) = 0 • Inégalités strictes ou larges équivalentes : P(a X b) = P(a 1)

Le cours

Variable aléatoire continue Une variable aléatoire continue prend ses valeurs dans un intervalle I de R (temps d'attente, longueur d'une pièce, tension, température). Sa distribution est caractérisée par une fonction de densité de probabilité f vérifiant deux conditions indispensables : Positivité : pour tout x I, f(x) 0. Aire totale égale à 1 : l'intégrale sur tout le domaine de définition vaut 1 : _I f(x)\,dx = 1 Propriété fondamentale : probabilité ponctuelle nulle Pour toute variable aléatoire continue et pour tout réel c : P(X = c) = _c^c f(x)\,dx = 0 Par conséquent, les inégalités strictes ou larges sont équivalentes : P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b)

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités