La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Densité uniforme : f(x) = 1/b - a sur [a ; b] • Probabilité : P(c X d) = d - c/b - a • Équiprobabilité continue : la probabilité ne dépend que de la longueur du sous-intervalle • P(X x) = x - a/b - a pour x [a ; b]

Le cours

Définition de la loi uniforme U([a ; b]) Une variable aléatoire continue X suit la loi uniforme sur [a ; b] (avec a constante sur [a ; b] : f(x) = 1/b - a pour tout x [a ; b] Elle vaut 0 en dehors de [a ; b]. L'aire sous la courbe est un rectangle de largeur (b - a) et de hauteur 1/b - a, d'aire totale égale à 1. Calcul des probabilités Pour tout intervalle [c ; d] [a ; b], la probabilité est proportionnelle à la longueur de l'intervalle : P(c X d) = d - c/b - a = longueur de [c ; d]longueur totale Méthode : se ramener à un intervalle Pour un événement du type X s ou X s, on se ramène à un intervalle inclus dans [a ; b] : P(X s) = b - s/b - a et P(X s) = s - a/b - a. Si une borne sort de [a ; b], on la remplace par a ou par b : pour X U([0 ; 10]), P(X 12) = 1 et P(-3 X 4) = 4 - 0/10 = 0,4.

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités