Résidus d'un ajustement et examen graphique des écarts

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Résidu : e_i = y_i - y_i = y_i - (ax_i + b) (écart vertical). • Propriété d'équilibre des moindres carrés : _i=1^n e_i = 0. • Résidu positif point au-dessus de la droite ; résidu négatif en dessous. • Graphique des résidus : permet de déceler des valeurs aberrantes ou une courbure cachée. • Un bon ajustement produit des résidus d'amplitudes faibles et sans motif régulier.

Le cours

Définition et rôle des résidus Pour chaque point observé (x_i\,;\,y_i) et pour un modèle d'ajustement fournissant la valeur estimée y_i = ax_i + b, le résidu e_i représente l'écart vertical algébrique entre l'observation et le modèle : e_i = y_i - y_i = y_i - (a x_i + b) Si e_i > 0 : le point réel est situé au-dessus de la droite d'ajustement. Si e_i Propriété fondamentale : pour la droite des moindres carrés, la somme algébrique des résidus est exactement nulle : _i=1^n e_i = 0. Examen graphique des résidus Le tracé des points (x_i\,;\,e_i) autour de l'axe horizontal e = 0 permet de contrôler la pertinence du modèle : Dispersion aléatoire et homogène : le modèle linéaire est parfaitement adapté. Forme en U ou en cloche : les résidus révèlent une courbure systématique, indiquant qu'un ajustement non linéaire (exponentiel, puissance, polynôme) est nécessaire.

Dans ce chapitre

• Statistiques à une variable, moyenne et écart-type de Première Technologique
• Médiane, quartiles et diagrammes en boîte de Première Technologique
• Équation réduite de droite et coefficient directeur de Première Technologique
• Nuage de points et coordonnées du point moyen G(x ; y)
• Ajustement affine par la méthode des moindres carrés : équation de la droite y = ax + b
• Interpolation, extrapolation et prévisions chiffrées
• Ajustement non linéaire après changement de variable (Y = (y))
• Coefficient de corrélation linéaire r et force de l'association statistique
• Calculs des paramètres de régression à la calculatrice (mode STAT 2-Var)
• Résidus d'un ajustement et examen graphique des écarts
• Ajustement puissance par transformation logarithmique (Y = (y) et X = (x))
• Distinction entre droite de régression de y en x et de x en y
• Limites et validité d'une extrapolation statistique dans le temps
• Bilan : Synthèse et méthode sur la statistique à deux variables et ajustement linéaire