Ajustement affine par la méthode des moindres carrés : équation de la droite y = ax + b

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• La droite des moindres carrés s'écrit y = ax + b. • Elle passe toujours par le point moyen G(x ; y), ce qui donne b = y - ax. • Le coefficient a s'obtient par a = Cov(X, Y)V(X).

Le cours

1. Principe des moindres carrés La droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés est l'unique droite d'équation y = ax + b qui rend minimale la somme des carrés des distances verticales entre les points réels M_i(x_i ; y_i) et la droite : S(a, b) = _i=1^n (y_i - (a x_i + b))^2 est minimale 2. Formules des coefficients a et b En posant la covariance Cov(X, Y) = 1/n (x_i - x)(y_i - y) et la variance V(X) = _x^2 : a = Cov(X, Y)V(X) = (x_i - x)(y_i - y) (x_i - x)^2 et b = y - a x 3. Obtention directe à la calculatrice Au Bac Technologique, les calculs de a et b sont obtenus directement via le menu STAT 2-Var (LinReg ax+b). Il convient d'arrondir les coefficients au millième ou au centième selon la consigne.

Dans ce chapitre

• Statistiques à une variable, moyenne et écart-type de Première Technologique
• Médiane, quartiles et diagrammes en boîte de Première Technologique
• Équation réduite de droite et coefficient directeur de Première Technologique
• Nuage de points et coordonnées du point moyen G(x ; y)
• Ajustement affine par la méthode des moindres carrés : équation de la droite y = ax + b
• Interpolation, extrapolation et prévisions chiffrées
• Ajustement non linéaire après changement de variable (Y = (y))
• Coefficient de corrélation linéaire r et force de l'association statistique
• Calculs des paramètres de régression à la calculatrice (mode STAT 2-Var)
• Résidus d'un ajustement et examen graphique des écarts
• Ajustement puissance par transformation logarithmique (Y = (y) et X = (x))
• Distinction entre droite de régression de y en x et de x en y
• Limites et validité d'une extrapolation statistique dans le temps
• Bilan : Synthèse et méthode sur la statistique à deux variables et ajustement linéaire