Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Nombre de termes de u_p à u_n : N = n - p + 1. • Somme arithmétique : S = N u_p + u_n/2. • Somme des entiers : _k=1^n k = n(n+1)/2. • Somme géométrique (q 1) : S = u_p 1 - q^N/1 - q. • Somme des puissances : _k=0^n q^k = 1 - q^n+11 - q.

Le cours

Somme des termes d'une suite arithmétique Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, la somme de termes consécutifs s'obtient par la règle de la demi-somme des extrêmes multipliée par le nombre de termes : S = nombre de termes premier terme + dernier terme2 Cas particulier remarquable : 1 + 2 + 3 + + n = n(n+1)/2. Somme des termes d'une suite géométrique Pour une suite géométrique de raison q 1, la somme s'obtient par la formule : S = premier terme 1 - q^nombre de termes1 - q Cas particulier remarquable : 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q. Méthode : compter les termes avant tout De u_p à u_n, il y a n - p + 1 termes (et non n - p). Mini-exemple : u_3 + u_4 + + u_12 compte 12 - 3 + 1 = 10 termes. Pour une suite géométrique de raison q = 2 avec u_0 = 1, on a u_0 + u_1 + + u_5 = 1 1 - 2^6/1 - 2 = 63 : on vérifie à la main 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques