Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Équation du point fixe : L = a L + b L = b/1 - a. • Suite auxiliaire : v_n = u_n - L est géométrique de raison a. • Premier terme : v_0 = u_0 - L.

Le cours

1. Recherche du point fixe L Le point fixe (ou valeur stationnaire) d'une suite arithmético-géométrique u_n+1 = a u_n + b (a 1) est l'unique réel L qui vérifie l'équation d'équilibre : L = a L + b L(1 - a) = b L = b/1 - a 2. La suite auxiliaire v_n = u_n - L On pose la suite auxiliaire v_n = u_n - L. Démontrons qu'elle est géométrique de raison a : v_n+1 = u_n+1 - L = (a u_n + b) - (a L + b) = a(u_n - L) = a v_n La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme v_0 = u_0 - L. 3. Puissance de la méthode En soustrayant le point fixe L, le terme constant b est totalement éliminé. On se ramène ainsi à une suite géométrique standard dont on maîtrise parfaitement les formules explicites !

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques