Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +

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À retenir

• Formule explicite : u_n = v_0 a^n + L = (u_0 - L) a^n + L. • Si -1 < a < 1, alors _n + u_n = L (convergence vers le point fixe). • Lorsque -1 < a < 1, la limite L ne dépend pas de la valeur initiale u_0.

Le cours

1. Formule explicite du terme général En combinant la suite auxiliaire v_n = v_0 a^n et la relation u_n = v_n + L : u_n = (u_0 - L) a^n + L Cette formule permet de calculer directement n'importe quel terme u_n (ex. u_50) sans calculer tous les termes intermédiaires. 2. Théorème de convergence L'étude de la limite dépend de la valeur du coefficient a (et, si a > 1, du signe de u_0 - L) : • Si -1 _n + a^n = 0, donc : _n + u_n = (u_0 - L) 0 + L = L La suite est convergente et tend vers la valeur stationnaire L. • Si a > 1 : _n + a^n = + ; si u_0 > L, la suite diverge vers +, si u_0 3. Interprétation concrète Le point fixe L représente la capacité limite ou le niveau d'équilibre du système à long terme (ex. charge maximale d'un traitement, niveau de saturation d'une population).

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques