Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Droites fondamentales : D : y = ax + b et diagonale : y = x. • Le point fixe L est l'abscisse de l'intersection de D et (L = aL + b). • Vertical vers D ⇒ calcul du terme suivant u_n+1. • Horizontal vers ⇒ report de u_n+1 sur l'axe horizontal. • Escalier si a > 0, spirale/toile d'araignée si a < 0.

Le cours

Principe de la construction en escalier / toile d'araignée Pour visualiser le comportement des termes d'une suite récurrente u_n+1 = f(u_n) avec f(x) = ax + b, on trace dans un repère orthonormal deux courbes de référence : La droite représentative de la fonction : D : y = ax + b. La première bissectrice : : y = x. Algorithme graphique de report : Placer u_0 sur l'axe des abscisses. Rejoindre verticalement la droite D au point (u_0\,;\,u_1) : l'ordonnée vaut u_1. Rejoindre horizontalement la droite au point (u_1\,;\,u_1) : cela reporte la valeur u_1 en abscisse. Recommencer verticalement vers D, puis horizontalement vers pour trouver u_2, u_3, Typologie des trajectoires Si a > 0 : trajectoire en escalier. Les termes progressent de manière monotone en s'approchant (si 0 1) du point d'intersection. Si a . Les termes tournent autour du point fixe L, convergeant vers le centre (si -1

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques