Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b

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À retenir

• Relation de récurrence : u_n+1 = a u_n + b. • Cas limites : si b = 0, la suite est géométrique ; si a = 1 (cas exclu de la définition), elle est arithmétique. • Modélise les phénomènes à apport constant et fuite proportionnelle.

Le cours

1. Définition canonique Une suite (u_n) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b (a 0 et a 1) tels que, pour tout entier naturel n : u_n+1 = a u_n + b Elle combine une multiplication par un facteur a (aspect géométrique) et l'addition d'une constante b (aspect arithmétique). 2. Modélisation de situations concrètes Épargne et versements : Un capital placé à 3\,\% par an (a = 1,03) sur lequel on verse 500 € chaque année (b = 500). Élimination médicamenteuse : Un patient élimine 20\,\% d'une substance par jour (a = 0,80) et reçoit une dose quotidienne de 10 mg (b = 10). Fidélité client : Une entreprise conserve 85\,\% de ses abonnés (a = 0,85) et gagne 3\,000 nouveaux abonnés par mois (b = 3\,000). 3. Obstacle majeur : absence de formule directe simple Attention : on ne peut PAS écrire u_n = u_0 a^n + n b ! Cette relation est complètement fausse. Le calcul des termes se fait pas à pas jusqu'à l'introduction de la méthode du point fixe.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques