Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Arithmétique : u_n+1 = u_n + r u_n = u_0 + nr. • Géométrique : u_n+1 = q u_n u_n = u_0 q^n. • Si |q| < 1, alors _n + q^n = 0.

Le cours

1. Suites arithmétiques Une suite (u_n) est arithmétique de raison r si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante r : • Récurrence : u_n+1 = u_n + r • Formule explicite : u_n = u_0 + n r 2. Suites géométriques Une suite (u_n) est géométrique de raison q si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même constante q : • Récurrence : u_n+1 = q u_n • Formule explicite : u_n = u_0 q^n 3. Limite d'une suite géométrique q^n Pour tout réel q > 0 : • Si 0 1, alors _n + q^n = + (explosion exponentielle). 4. Reconnaître et exploiter la nature d'une suite • On calcule u_n+1 - u_n : s'il est constant, la suite est arithmétique ; pour des termes non nuls, on calcule u_n+1u_n : s'il est constant, elle est géométrique. • Sens de variation : une suite arithmétique est croissante si r > 0, décroissante si r 0 est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1. • Mini-exemple : la suite 3\ ;\ 6\ ;\ 12\ ;\ 24 a des écarts 3\ ;\ 6\ ;\ 12 non constants mais des quotients tous égaux à 2 : elle est géométrique de raison 2, et u_10 = 3 2^10 = 3\,072.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques