Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Relation récurrente : E_n+1 = (1 + t)E_n + V. • Formule explicite : E_n = (1 + t)^n (E_0 + V/t) - V/t. • Si versement pur sans apport (E_0 = 0) : E_n = V (1+t)^n - 1/t. • Montant total versé : E_0 + n V. • Intérêts nets cumulés : = E_n - (E_0 + nV).

Le cours

Mécanisme de l'épargne avec capitalisation Un compte d'épargne rémunéré au taux périodique t est ouvert avec un capital initial E_0. À chaque période, les intérêts sont crédités sur le solde, puis un versement constant V est ajouté : E_n+1 = (1 + t) E_n + V Raison de la dynamique : a = 1 + t > 1. Terme constant : b = V > 0. Point fixe formel : L = V/1 - (1+t) = -V/t. Formule fermée et calcul des intérêts accumulés Le capital constitué après n périodes s'exprime explicitement par : E_n = (1 + t)^n ( E_0 + V/t ) - V/t Le total des fonds réellement versés par l'épargnant au cours des n périodes est E_0 + n V. Les intérêts totaux gagnés s'obtiennent par la différence : Gain = E_n - (E_0 + nV).

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques