Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Relation récurrente : C_n+1 = (1 + t)C_n - M. • Raison a = 1 + t > 1, terme constant b = -M. • Point fixe associé : L = M/t. • Formule fermée : C_n = (1 + t)^n ( C_0 - M/t ) + M/t. • Amortissement total en N mois : C_N = 0 M = C_0 t1 - (1+t)^-N.

Le cours

Mécanisme financier de l'amortissement Lors d'un emprunt bancaire de capital initial C_0 au taux d'intérêt périodique t, remboursé par mensualités constantes M : En début de période, les intérêts dus sont calculés sur le capital restant : I_n+1 = t C_n. Le débiteur verse la mensualité M. Le capital restant dû en fin de mois vérifie donc la relation de récurrence : C_n+1 = C_n + t C_n - M = (1 + t) C_n - M Formule explicite et mensualité d'amortissement Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique avec a = 1 + t et b = -M. Le point fixe est L = -M/1 - (1+t) = M/t. L'expression du capital restant dû après n mensualités est : C_n = (1 + t)^n ( C_0 - M/t ) + M/t Pour que l'emprunt soit totalement soldé au bout de N échéances (C_N = 0), la mensualité constante doit valoir : M = C_0 t1 - (1+t)^-N.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques