Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Séparation systématique : u_k = v_k + L. • Somme des v_k : géométrique v_0 1 - a^n+11 - a. • Somme des constantes : _k=0^n L = (n+1) L. • Formule globale : S_n = (u_0 - L) 1 - a^n+11 - a + (n+1)L. • Attention au nombre de termes : de 0 à n, il y a (n+1) termes.

Le cours

Principe de décomposition pour la sommation Pour calculer la somme cumulée des termes d'une suite arithmético-géométrique S_n = _k=0^n u_k, la méthode standard repose sur la décomposition via le point fixe L : u_k = v_k + L avec (v_k) géométrique de raison a En sommant membre à membre de k = 0 à n : S_n = _k=0^n (v_k + L) = ( _k=0^n v_k ) + (n + 1) L Formule générale de sommation Puisque (v_k) est géométrique de premier terme v_0 = u_0 - L et de raison a 1 : S_n = (u_0 - L) 1 - a^n+11 - a + (n + 1) L Cette formule est très utilisée pour évaluer le cumul de pollutions émises, la production globale cumulée d'une machine ou la consommation énergétique totale sur une longue période.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques