Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Triptyque d'or : Point fixe L ➔ Suite auxiliaire géométrique v_n ➔ Formule explicite u_n = v_n + L. • Si |a| < 1, la suite converge toujours vers L, indépendamment de u_0. • La recherche de seuil se résout par inéquation avec ou par algorithme `while`.

Le cours

1. La feuille de route en 4 étapes pour le Bac 1. Modélisation : Poser u_n+1 = a u_n + b et identifier u_0. 2. Point fixe : Résoudre L = a L + b L = b/1 - a. 3. Suite auxiliaire : Poser v_n = u_n - L, prouver que v_n+1 = a v_n, puis en déduire v_n = v_0 a^n. 4. Formule explicite et limite : Conclure avec u_n = v_0 a^n + L. Si |a| 2. Tableau récapitulatif des comportements • 0 La suite est monotone et converge vers le point fixe L. • -1 La suite oscille de part et d'autre de L en se rapprochant de L. • a > 1 : si u_0 L, la suite s'éloigne indéfiniment de L et diverge vers + (si u_0 > L) ou vers - (si u_0 • a -1 : si u_0 L, la suite oscille autour de L sans s'en rapprocher et n'a pas de limite. • u_0 = L : quelle que soit la valeur de a, la suite est constante égale à L. 3. Les pièges éliminatoires Ne confondez jamais u_n et v_n ! Vérifiez toujours votre formule explicite pour n = 0 et n = 1. N'écrivez jamais que (u_n) est géométrique, seule la suite auxiliaire (v_n) l'est.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques