Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Point fixe : L = b/1 - a pour a 1. • Formule générale : u_n = a^n(u_0 - L) + L. • Équilibre stable : si |a| 1, la suite s'échappe vers selon le signe de (u_0 - L). • Si u_0 = L, la suite est constante, quelle que soit la valeur de a.

Le cours

Forme explicite et point fixe Soit la suite arithmético-géométrique définie par u_n+1 = a u_n + b avec a 1. Le point fixe est l'unique solution de L = aL + b, soit : L = b/1 - a La suite auxiliaire v_n = u_n - L est géométrique de raison a. Le terme général s'exprime donc sous la forme explicite : u_n = a^n (u_0 - L) + L Théorème de classification asymptotique La limite de u_n quand n + dépend de la valeur de a et, hors du cas -1 Si |a| _n + a^n = 0 _n + u_n = L Le système atteint un état d'équilibre stable L, quel que soit le terme initial u_0. Si a > 1 : DIVERGENCE _n + a^n = + _n + u_n = cases + & si u_0 > L \\ - & si u_0 Si a -1 : DIVERGENCE OSCILLANTE : les termes passent alternativement de part et d'autre de L sans s'en rapprocher, la suite n'a pas de limite (sauf si u_0 = L, cas de la suite constante).

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques