Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Étude du signe de la différence : u_n+1 - u_n 0 (u_n) croissante. • Étude du quotient (u_n > 0) : u_n+1u_n 1 (u_n) croissante. • Si |q| 1, alors _n + q^n = +. • Une suite non monotone peut quand même converger (ex: oscillations amorties).

Le cours

Sens de variation d'une suite Le sens de variation caractérise l'évolution des termes successifs d'une suite (u_n)_n N : Suite croissante : pour tout entier n, u_n+1 u_n (ou u_n+1 - u_n 0). Suite décroissante : pour tout entier n, u_n+1 u_n (ou u_n+1 - u_n 0). Suite stationnaire : tous les termes sont constants (u_n+1 = u_n). Cas des termes strictement positifs : si u_n > 0, la comparaison du quotient u_n+1u_n avec 1 permet de conclure (si 1 croissante, si 1 décroissante). Notion intuitive de convergence et limites géométriques Une suite converge vers un réel L lorsque ses termes se rapprochent indéfiniment de L quand n devient très grand (_n + u_n = L). Sinon, elle diverge (vers ou sans limite). Pour une suite géométrique de terme général q^n : Si -1 Si q > 1 : _n + q^n = + (la suite diverge). Si q -1 : q^n oscille sans admettre de limite.

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques