Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Conservation de l'effectif : B_n = C - A_n. • Équation récurrente : A_n+1 = (1 - p - q)A_n + qC. • Raison d'amortissement : a = 1 - p - q, avec -1 < a < 1. • Équilibre stable universel : A^* = q/p + q C. • L'état d'équilibre final ne dépend pas de la répartition initiale (A_0, B_0).

Le cours

Modèle à effectif total constant (vases communicants) Deux groupes technologiques, marques ou populations A et B se partagent un ensemble constant de C individus (A_n + B_n = C pour tout n). À chaque pas de temps : Une fraction p ]0\,;\,1[ des membres de A migre vers B. Une fraction q ]0\,;\,1[ des membres de B migre vers A. Le bilan d'étape pour la population A s'écrit : A_n+1 = (1 - p) A_n + q B_n = (1 - p) A_n + q (C - A_n) = (1 - p - q) A_n + q C Convergence vers l'équilibre de marché On reconnaît une suite arithmético-géométrique avec a = 1 - p - q et b = q C. Comme 0 état d'équilibre stationnaire A^* : A^* = q C/1 - (1 - p - q) = q/p + q C et B^* = p/p + q C

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et suites géométriques de Première Technologique
• Calcul de sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques de Première
• Sens de variation et convergence intuitive des suites numériques de Première
• Définition d'une suite arithmético-géométrique : relation u_n+1 = a u_n + b
• Point fixe et suite auxiliaire géométrique v_n = u_n - L
• Formule explicite de u_n et étude de la limite quand n +
• Algorithme de seuil et programmation de la recherche de dépassement
• Représentation graphique en toile d'araignée d'une suite récurrente u_n+1 = a u_n + b
• Comportement asymptotique selon la valeur de la raison a : stabilité et divergence
• Modélisation financière d'un emprunt amortissable et calcul du capital restant dû
• Modélisation d'une épargne programmée avec versements périodiques constants
• Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique
• Modélisation de dynamiques de populations concurrentes à temps discret
• Bilan : Synthèse et méthode sur les suites arithmético-géométriques