Formule de Bayes et calcul de la probabilité a posteriori

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À retenir

• Formule de Bayes : P_B(A) = P(A B)/P(B) = P(A) P_A(B)/P(B). • Calcul de P(B) par probabilités totales : P(B) = P(A)P_A(B) + P(A)P_A(B). • Notion a priori (P(A)) révisée en a posteriori (P_B(A)). • Numérateur = probabilité du seul chemin passant par A puis B ; dénominateur = somme de tous les chemins menant à l'observation B.

Le cours

Théorème de Bayes et inversion du conditionnement La formule de Bayes permet de « remonter le temps » ou d'actualiser une probabilité initiale à la lumière d'une observation ou d'un signal mesuré : P_B(A) = P(A B)/P(B) = P(A) P_A(B)/P(B) Probabilité a priori P(A) : estimation avant toute nouvelle information. Vraisemblance P_A(B) : probabilité d'observer le signal B si l'hypothèse A est vraie. Probabilité a posteriori P_B(A) : probabilité révisée que l'état A soit réalisé sachant que le signal B a été observé. Formule développée sur une partition Si (A_1, A_2, , A_k) forme une partition de l'univers , le dénominateur s'exprime par la formule des probabilités totales : P_B(A_i) = P(A_i) P_A_i(B)_j=1^k P(A_j) P_A_j(B)

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