Inversion du conditionnement et applications aux tests de dépistage

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Formule de Bayes : P_B(A) = P(A B)/P(B). • Dénominateur P(B) calculé par les probabilités totales. • VPP (Valeur Prédictive Positive) : P_T(M), probabilité d'être malade sachant le test positif.

Le cours

1. La formule de Bayes (inversion du conditionnement) Connaissant P_A(B), on cherche à calculer la probabilité conditionnelle inverse P_B(A) : P_B(A) = P(A B)/P(B) = P(A) P_A(B)P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B) 2. Modélisation d'un test de dépistage médical ou industriel M : être malade (prévalence P(M)). T : le test est positif (T^+). Sensibilité : P_M(T), probabilité que le test soit positif sachant qu'on est malade (vrai positif). Spécificité : P_M(T), probabilité que le test soit négatif chez un sujet sain (vrai négatif). Faux positif : P_M(T) = 1 - spécificité. 3. Le paradoxe des tests rares (Valeur Prédictive Positive) Lorsque la maladie est rare (P(M) très faible, ex. 1\,\%), même avec un excellent test (99\,\% de sensibilité), la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif (P_T(M)) peut être inférieure à 50\,\% à cause de la masse des faux positifs !

Dans ce chapitre

• Probabilités élémentaires et tableaux croisés d'effectifs de Première Technologique
• Réunion, intersection et événements contraires : formules de base de Première Technologique
• Calculs de proportions et pourcentages conditionnels dans un tableau de contingence de Première
• Probabilité conditionnelle P_A(B) et formule du produit P(A B) = P(A) P_A(B)
• Représentation par un arbre pondéré et formule des probabilités totales
• Indépendance de deux événements et relation P(A B) = P(A) P(B)
• Inversion du conditionnement et applications aux tests de dépistage
• Formule de Bayes et calcul de la probabilité a posteriori
• Arbres pondérés à trois étapes et partitions de l'univers
• Sensibilité, spécificité et valeur prédictive positive d'un test de contrôle
• Modélisation de systèmes en série et en parallèle : fiabilité technologique
• Simulation numérique de tirages conditionnels et estimation de probabilités
• Diagnostic de défaillance et partition par plusieurs machines de production
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités conditionnelles et arbres pondérés