Indépendance de deux événements et relation P(A B) = P(A) P(B)

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À retenir

• Définition équivalente : P(A B) = P(A) P(B) P_A(B) = P(B). • Si A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi. • Deux événements disjoints (P(A B) = 0) ne sont PAS indépendants si P(A), P(B) > 0.

Le cours

1. Définition de l'indépendance Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si la réalisation de l'un n'influence en rien la probabilité de l'autre : P(A B) = P(A) P(B) Si P(A) > 0, cela équivaut à écrire : P_A(B) = P(B) (savoir que A est réalisé ne change rien à B). 2. Méthode pour démontrer l'indépendance Pour prouver si A et B sont indépendants en devoir surveillé : Calculer séparément le produit P(A) P(B). Calculer (ou lire dans l'énoncé) la valeur de P(A B). Comparer les deux résultats : s'ils sont strictement égaux, A et B sont indépendants ; sinon, ils sont dépendants. 3. Piège capital : Incompatibles Indépendants • Incompatibles signifie qu'ils ne peuvent pas se produire ensemble : P(A B) = 0. • Indépendants signifie que P(A B) = P(A) P(B). Si P(A) > 0 et P(B) > 0, ce produit est strictement positif : deux événements de probabilités non nulles ne peuvent donc JAMAIS être à la fois incompatibles et indépendants !

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