Simulation numérique de tirages conditionnels et estimation de probabilités

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Principe : filtrer les simulations qui réalisent la condition A. • Formule empirique : f_B|A = nb\_A\_et\_Bnb\_A. • Le dénominateur est `nb_A` et JAMAIS la taille totale N. • L'erreur d'estimation est de l'ordre de 1nb\_A. • Loi des grands nombres : pour N grand, la fréquence se stabilise autour de P_A(B).

Le cours

Méthode de Monte-Carlo pour le conditionnement La simulation numérique permet d'estimer expérimentalement une probabilité conditionnelle P_A(B) lorsque le modèle probabiliste est complexe. Le principe de simulation algorithmique repose sur le filtrage des expériences : Simuler un grand nombre N d'expériences aléatoires indépendantes. Filtrer les tirages : incrémenter un compteur nb_A chaque fois que la condition A est validée. Parmi ces tirages filtrés, incrémenter un compteur nb_A_et_B lorsque l'événement B est également satisfait. Calculer la fréquence conditionnelle empirique : f_B|A = nb\_A\_et\_Bnb\_A Convergence par la loi des grands nombres D'après la loi des grands nombres, quand N devient grand, la fréquence conditionnelle observée se stabilise autour de la probabilité théorique : nb\_A\_et\_Bnb\_A P_A(B) pour N grand L'écart entre la fréquence et P_A(B) est de l'ordre de 1nb\_A : c'est le nombre de cas où A est réalisé, et non N, qui fixe la précision.

Dans ce chapitre

• Probabilités élémentaires et tableaux croisés d'effectifs de Première Technologique
• Réunion, intersection et événements contraires : formules de base de Première Technologique
• Calculs de proportions et pourcentages conditionnels dans un tableau de contingence de Première
• Probabilité conditionnelle P_A(B) et formule du produit P(A B) = P(A) P_A(B)
• Représentation par un arbre pondéré et formule des probabilités totales
• Indépendance de deux événements et relation P(A B) = P(A) P(B)
• Inversion du conditionnement et applications aux tests de dépistage
• Formule de Bayes et calcul de la probabilité a posteriori
• Arbres pondérés à trois étapes et partitions de l'univers
• Sensibilité, spécificité et valeur prédictive positive d'un test de contrôle
• Modélisation de systèmes en série et en parallèle : fiabilité technologique
• Simulation numérique de tirages conditionnels et estimation de probabilités
• Diagnostic de défaillance et partition par plusieurs machines de production
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités conditionnelles et arbres pondérés