Modélisation de systèmes en série et en parallèle : fiabilité technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Série : tous doivent marcher R = R_1 R_2 R_n. • Parallèle : au moins un marche R = 1 - (1 - R_1)(1 - R_2)(1 - R_n). • Un système en série est fragilisé par l'augmentation du nombre de composants. • Un système en parallèle renforce exponentiellement la sécurité (redondance). • Hypothèse indispensable : indépendance mutuelle des pannes.

Le cours

Fiabilité d'un composant technologique La fiabilité R_i d'un composant i est la probabilité qu'il fonctionne correctement pendant une durée déterminée : R_i = P(F_i). Sa probabilité de défaillance est q_i = 1 - R_i = P(F_i). Sous l'hypothèse d'indépendance de fonctionnement des composants : Système en série : le système fonctionne si et seulement si tous ses composants fonctionnent : R_série = P(F_1 F_2 F_n) = R_1 R_2 R_n = _i=1^n R_i La fiabilité globale est inférieure ou égale à celle du maillon le plus faible (strictement inférieure dès qu'un autre composant n'est pas fiable à 100\,\%). Système en parallèle (redondance active) Un système en parallèle fonctionne dès lors qu'au moins un composant reste opérationnel. La panne n'intervient que si tous les composants sont simultanément défaillants : R_parallèle = 1 - P(F_1 F_2 F_n) = 1 - _i=1^n (1 - R_i) La redondance en parallèle améliore considérablement la fiabilité globale du système.

Dans ce chapitre

• Probabilités élémentaires et tableaux croisés d'effectifs de Première Technologique
• Réunion, intersection et événements contraires : formules de base de Première Technologique
• Calculs de proportions et pourcentages conditionnels dans un tableau de contingence de Première
• Probabilité conditionnelle P_A(B) et formule du produit P(A B) = P(A) P_A(B)
• Représentation par un arbre pondéré et formule des probabilités totales
• Indépendance de deux événements et relation P(A B) = P(A) P(B)
• Inversion du conditionnement et applications aux tests de dépistage
• Formule de Bayes et calcul de la probabilité a posteriori
• Arbres pondérés à trois étapes et partitions de l'univers
• Sensibilité, spécificité et valeur prédictive positive d'un test de contrôle
• Modélisation de systèmes en série et en parallèle : fiabilité technologique
• Simulation numérique de tirages conditionnels et estimation de probabilités
• Diagnostic de défaillance et partition par plusieurs machines de production
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités conditionnelles et arbres pondérés