Diagnostic de défaillance et partition par plusieurs machines de production

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Les événements M_1, M_2, , M_k forment une partition : P(M_i) = 1. • Probabilité globale par les probabilités totales : P(D) = P(M_i) P_M_i(D). • Diagnostic inverse : la probabilité que le défaut vienne de M_i vaut P_D(M_i) = P(M_i D)/P(D).

Le cours

1. Modélisation par partition d'un parc de machines Dans une usine de fabrication technologique, les pièces produites proviennent souvent de plusieurs ateliers ou machines distinctes, notées M_1, M_2, , M_k. Comme chaque pièce est usinée par une et une seule machine, les événements M_1, M_2, , M_k constituent une partition de l'univers : ils sont deux à deux disjoints et leur réunion forme l'ensemble de la production. Partition : P(M_1) + P(M_2) + + P(M_k) = 1 Chaque machine présente son propre taux de défaillance conditionnel : P_M_i(D). 2. Probabilité globale de défaut et diagnostic a posteriori Pour évaluer la qualité globale et localiser l'origine d'une anomalie constatée sur un produit fini, on applique deux étapes complémentaires : 1. Formule des probabilités totales pour calculer la proportion globale de pièces défectueuses P(D) : P(D) = P(M_1) P_M_1(D) + P(M_2) P_M_2(D) + + P(M_k) P_M_k(D) 2. Inversion du conditionnement (diagnostic a posteriori) : si un produit présente un défaut, la probabilité qu'il provienne spécifiquement de la machine M_i s'exprime par : P_D(M_i) = P(M_i D)/P(D) = P(M_i) P_M_i(D)P(D) Cette probabilité permet aux ingénieurs méthodes de cibler prioritairement les opérations de maintenance préventive sur la machine la plus suspecte. 3. Piège sur les pourcentages Ne confondez pas le taux de défaut intrinsèque à une machine P_M_i(D) avec la contribution de cette machine à l'ensemble des défauts P_D(M_i). Une machine très bien réglée mais fabriquant 80\ \% des volumes peut générer plus de pièces défectueuses en nombre absolu qu'une petite machine déréglée ne produisant que 2\ \% du total.

Dans ce chapitre

• Probabilités élémentaires et tableaux croisés d'effectifs de Première Technologique
• Réunion, intersection et événements contraires : formules de base de Première Technologique
• Calculs de proportions et pourcentages conditionnels dans un tableau de contingence de Première
• Probabilité conditionnelle P_A(B) et formule du produit P(A B) = P(A) P_A(B)
• Représentation par un arbre pondéré et formule des probabilités totales
• Indépendance de deux événements et relation P(A B) = P(A) P(B)
• Inversion du conditionnement et applications aux tests de dépistage
• Formule de Bayes et calcul de la probabilité a posteriori
• Arbres pondérés à trois étapes et partitions de l'univers
• Sensibilité, spécificité et valeur prédictive positive d'un test de contrôle
• Modélisation de systèmes en série et en parallèle : fiabilité technologique
• Simulation numérique de tirages conditionnels et estimation de probabilités
• Diagnostic de défaillance et partition par plusieurs machines de production
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités conditionnelles et arbres pondérés