Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• nk : nombre de chemins comportant k succès parmi n tirages. • Symétrie : nk = nn - k. • Formule de Pascal : nk = n - 1k - 1 + n - 1k. • Cas limites : n0 = nn = 1 et n1 = n. • Somme de la ligne n : _k=0^n nk = 2^n (nombre total de chemins).

Le cours

Définition combinatoire du coefficient binomial Dans la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, le coefficient binomial nk (lire « k parmi n ») désigne le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement k succès et n - k échecs (0 k n). nk = n!/k!(n - k)! Valeurs immédiates : n0 = 1, nn = 1, n1 = n, nn - 1 = n. Symétrie : choisir k succès revient à choisir les n - k échecs : nk = nn - k Relation de Pascal et triangle Tout coefficient se déduit de la ligne précédente par la relation de récurrence de Pascal : nk = n - 1k - 1 + n - 1k (1 k n - 1)

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision