Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Pour X B(n, p) : l'espérance est E(X) = n p. • La variance est V(X) = n p (1 - p) et l'écart-type est (X) = n p (1 - p). • E(X) représente le nombre moyen de succès attendu sur un lot de taille n.

Le cours

1. Espérance d'une loi binomiale Lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p), l'espérance mathématique s'obtient par la formule remarquable : E(X) = n p Cette valeur s'interprète comme le nombre moyen de succès que l'on observerait par série de n épreuves si l'on répétait cette série un très grand nombre de fois. L'espérance E(X) n'est généralement pas un nombre entier. 2. Variance et écart-type de la loi binomiale La dispersion du nombre de succès autour de la moyenne théorique est mesurée par la variance et l'écart-type : Variance : V(X) = n p (1 - p) Écart-type : (X) = n p (1 - p) L'écart-type quantifie l'amplitude des fluctuations statistiques d'échantillonnage. En contrôle qualité industriel, la quasi-totalité des effectifs réels observés (environ 95\ \%) se situent dans la plage [E(X) - 2(X)\,;\,E(X) + 2(X)]. 3. Erreur fréquente d'interprétation Ne confondez pas la moyenne du nombre de succès E(X) = np avec la fréquence moyenne de succès E(X/n) = p. De même, l'écart-type (X) augmente proportionnellement à n quand la taille de l'échantillon grandit, alors que la dispersion de la fréquence moyenne (X)/n = p(1-p)/n diminue en 1n.

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision