Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• p = 0,5 symétrie rigoureuse autour de = n/2. • p 0,5 pic à droite, étirement vers la gauche. • Conditions de quasi-symétrie en cloche : n 30, np 5, n(1-p) 5. • Pour p fixé, plus n est grand, plus le diagramme prend une forme en cloche presque symétrique.

Le cours

Symétrie exacte pour p = 0,5 La forme géométrique de la loi binomiale B(n, p) est dictée par la valeur du paramètre de succès p : Si p = 0,5 : symétrie parfaite. Pour tout k \0, , n\ : P(X = k) = P(X = n - k) Le diagramme est parfaitement symétrique par rapport à la verticale d'abscisse = n/2. Si p . Le mode est situé vers la gauche (Si p > 0,5 : asymétrie négative (étalement à gauche). Le mode est déporté vers la droite (> n/2). Comportement pour n grand : forme en cloche Dès que les trois conditions suivantes sont simultanément réunies : n 30, n p 5, n(1 - p) 5 L'asymétrie s'estompe et le diagramme en bâtons prend une forme en « cloche » presque symétrique autour de np, de largeur liée à np(1 - p). C'est ce que l'on observe en simulant de grands échantillons.

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision