Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Une épreuve de Bernoulli ne possède que deux issues : Succès (p) et Échec (1-p). • La variable indicatrice X vaut 1 pour le succès et 0 pour l'échec. • Son espérance mathématique est E(X) = p et sa variance est V(X) = p(1-p).

Le cours

1. Définition d'une épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que deux issues possibles et complémentaires, conventionnellement qualifiées de : • Succès (noté S), associé à une probabilité p (0 • Échec (noté E ou S), associé à la probabilité complémentaire q = 1 - p. Le mot « succès » n'a pas nécessairement de connotation positive : dans un contrôle industriel, le « succès » peut être l'apparition d'une pièce défectueuse si c'est l'événement que l'on comptabilise. 2. La variable aléatoire indicatrice de Bernoulli On associe à cette épreuve une variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec. Sa loi de probabilité est résumée par : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p L'espérance mathématique vaut : E(X) = 0 (1 - p) + 1 p = p. La variance vaut : V(X) = p(1 - p). 3. Erreur fréquente de modélisation Une expérience à plus de deux issues ne peut être une épreuve de Bernoulli que si l'on regroupe les issues en deux catégories disjointes : l'événement d'intérêt (le succès S) et tout le reste (l'échec S). Par exemple, au dé à 6 faces, « obtenir un 6 » (p = 1/6) et « ne pas obtenir de 6 » (q = 5/6) forme bien une épreuve de Bernoulli.

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