Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Si X B(n, p), alors P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k pour 0 k n. • nk compte le nombre de chemins menant à k succès sur l'arbre. • Cas remarquables : P(X = 0) = (1 - p)^n et P(X = n) = p^n.

Le cours

1. Énoncé de la formule de la loi binomiale Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p), correspondant à la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès p. Pour tout entier k compris entre 0 et n, la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par la formule explicite : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k 2. Décomposition et signification des trois facteurs Cette formule fondamentale résulte de l'analyse combinatoire d'un arbre de probabilités : 1. Le coefficient binomial nk représente le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement k succès parmi n épreuves. 2. Le facteur p^k correspond au produit des probabilités des k branches de succès rencontrées. 3. Le facteur (1 - p)^n - k correspond au produit des probabilités des n - k branches d'échec rencontrées. Chaque chemin individuel menant à k succès a exactement la même probabilité p^k (1 - p)^n - k. Comme il existe nk chemins disjoints réalisant cet événement, on multiplie cette probabilité par le nombre de chemins. 3. Erreurs classiques de calcul Ne confondez pas le nombre de succès k et le nombre d'épreuves n. Veillez également à ne pas inverser les exposants : la probabilité de succès p a pour exposant k (le nombre de succès), et la probabilité d'échec 1-p a pour exposant n-k (le nombre d'échecs). Rappelons que par convention n0 = 1 et tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1.

Dans ce chapitre