Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• P(X k) = 1 - P(X k - 1) • P(X 1) = 1 - (1 - p)^n • P(a X b) = P(X b) - P(X a - 1)

Le cours

1. Fonctions de la calculatrice Probabilité exacte P(X = k) : binompdf(n, p, k) (TI) ou BinomialPD(k, n, p) (Casio). Probabilité cumulée P(X k) : binomcdf(n, p, k) (TI) ou BinomialCD(k, n, p) (Casio). 2. Formules de passage aux événements cumulés Comme la variable X est à valeurs entières, on utilise les équivalences fondamentales : Au plus k succès : P(X k) (direct calculatrice). Strictement inférieur : P(X Au moins k succès : P(X k) = 1 - P(X k - 1). Au moins un succès : P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n. Encadrement : P(a X b) = P(X b) - P(X a - 1). 3. Méthode : traduire la phrase avant de calculer « au plus 3 » : X 3 ; « moins de 3 » : X 2 ; « au moins 3 » : X 3 ; « plus de 3 » : X 4. Mini-exemple : pour X B(10\,;\,0,3), « au moins 2 succès » s'écrit P(X 2) = 1 - P(X 1) 1 - 0,1493 = 0,8507. La calculatrice ne donne directement que P(X k) : tout autre événement se ramène à elle.

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision