Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• La variance mesure la dispersion : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 0. • L'écart-type est (X) = V(X) et s'exprime dans la même unité que la variable. • Plus l'écart-type est petit, plus les valeurs de X sont concentrées autour de l'espérance.

Le cours

1. Dispersion d'une variable aléatoire discrète Alors que l'espérance mathématique E(X) indique la valeur moyenne prise par une variable aléatoire sur un très grand nombre d'expériences, la variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs possibles autour de cette moyenne centrale. Espérance : E(X) = x_i p_i (centre de gravité des probabilités) Variance : moyenne des carrés des écarts à la moyenne 2. Formules de calcul Pour une variable prenant les valeurs x_1, x_2, , x_k avec les probabilités p_1, p_2, , p_k, on calcule la variance par la formule développée de Koenig-Huygens : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = _i=1^k x_i^2 p_i - (E(X))^2 L'écart-type, noté (X), est la racine carrée positive de la variance : (X) = V(X). Il s'exprime dans la même unité de mesure que la variable aléatoire X. 3. Erreur classique de carré Une variance ne peut jamais être négative (V(X) 0). Si vous obtenez un résultat négatif, vous avez confondu E(X^2) et (E(X))^2 ou commis une erreur de signe. N'oubliez pas non plus de prendre la racine carrée pour obtenir l'écart-type.

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision