Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Abscisses : entiers k \0, 1, , n\. • Hauteurs : probabilités P(X = k). • Somme des hauteurs de tous les bâtons = 1. • Bâton le plus haut = mode de la distribution (voisin de n p). • La largeur de la cloche de bâtons est pilotée par l'écart-type = np(1-p).

Le cours

Diagramme en bâtons d'une distribution discrète La loi binomiale B(n, p) est une distribution de probabilité strictement discrète, définie pour k \0, 1, 2, , n\. Sa représentation graphique s'effectue au moyen d'un diagramme en bâtons : Axe des abscisses : les valeurs entières du nombre de succès k \0, 1, , n\. Axe des ordonnées : la probabilité ponctuelle P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k. Hauteur de chaque bâton : proportionnelle à la probabilité. La somme de toutes les hauteurs vaut rigoureusement 1 : _k=0^n P(X = k) = 1. Lecture géométrique : mode et dispersion Le bâton le plus élevé correspond au mode de la distribution, c'est-à-dire l'entier k le plus probable. Le mode est toujours situé au voisinage immédiat de l'espérance mathématique = n p. La dispersion des hauteurs de part et d'autre du mode reflète l'écart-type = n p (1 - p).

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision