Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Événement « au moins un succès » : P(X 1) = 1 - (1 - p)^n. • Pour garantir P(X 1) seuil, on résout (1 - p)^n 1 - seuil. • Formule logarithmique : n (1 - seuil)(1 - p) (inversion du sens car (1 - p) < 0).

Le cours

1. L'événement « au moins un succès » Dans de nombreux contextes technologiques et sécuritaires (redondance de serveurs informatiques, tirs de missiles d'interception, dépistage précoce), on cherche à connaître le nombre d'essais indépendants n nécessaire pour que la probabilité d'obtenir au moins un succès dépasse un seuil de confiance fixé (par exemple 95\ \%, 99\ % ou 99,9\ %). Événement contraire de « au moins un succès » : « aucun succès » (X = 0) P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n 2. Résolution de l'inéquation en n avec le logarithme ou par balayage Pour déterminer le plus petit entier n tel que P(X 1) 1 - (où est le risque d'échec résiduel toléré) : 1. Poser l'inéquation : 1 - (1 - p)^n 1 - (1 - p)^n . 2. Appliquer la fonction logarithme népérien () qui est strictement croissante : ((1 - p)^n) () n (1 - p) () 3. Comme 0 le sens de l'inégalité s'inverse : n ()/(1 - p) On conclut en prenant le plus petit nombre entier supérieur ou égal au quotient obtenu. 3. Piège de l'inversion du sens de l'inégalité Le piège majeur est d'oublier que (1 - p) est strictement négatif car 1 - p ]0\,;\,1[. Lors de la division par (1 - p), l'inégalité devient obligatoirement . Oublier d'inverser le sens conduirait à un résultat absurde indiquant un nombre maximal d'essais.

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision