Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Justification binomiale : 2 issues, indépendance, comptage de succès. • Calculs : P(X k) = 1 - P(X k - 1) et P(X 1) = 1 - (1 - p)^n. • Paramètres : E(X) = np, (X) = np(1 - p). • Décision : si f_obs [a/n\,;\,b/n], on ne rejette pas l'hypothèse sur p (risque de 5\,\%) ; sinon, on la rejette.

Le cours

Bilan didactique : Synthèse du chapitre Ce bilan structure l'ensemble des compétences requises en Terminale Technologique sur les lois discrètes et la prise de décision. 1. Modélisation binomiale Répétition de n épreuves identiques et indépendantes à 2 issues X B(n, p). 2. Probabilités calculatrice Ponctuelle : P(X = k) ; Cumulée : P(X k) ; Contraire : P(X k) = 1 - P(X k - 1). 3. Paramètres statistiques E(X) = np, V(X) = np(1-p), (X) = V(X). Linéarité de coût : E(aX+b) = aE(X)+b. 4. Prise de décision I = [a/n; b/n] avec seuils 2,5\,\% et 97,5\,\%. Si f_obs I acceptation. 5. Méthode de rédaction d'un exercice complet 1. Justifier la loi : épreuve à deux issues, répétée n fois de façon identique et indépendante, X compte les succès. 2. Traduire chaque question : « au moins k » donne 1 - P(X k - 1), « au plus k » donne P(X k). 3. Interpréter E(X) = np dans le contexte (nombre moyen, coût moyen). 4. Pour décider : déterminer a et b dans la table de P(X k), puis comparer la fréquence observée à [a/n\,;\,b/n].

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision