Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Loi de probabilité : somme des probabilités P(X = x_i) = 1. • Espérance mathématique : E(X) = x_i P(X = x_i). • Jeu équitable : E(X) = 0 (gain algébrique net nul en moyenne).

Le cours

1. Variable aléatoire discrète et loi de probabilité Une variable aléatoire discrète X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Définir sa loi de probabilité consiste à donner les probabilités P(X = x_i) associées à chaque valeur x_i. La somme des probabilités est toujours égale à 1 : P(X = x_i) = 1. 2. Espérance mathématique et interprétation L'espérance E(X) est la moyenne théorique des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X) = _i=1^k x_i P(X = x_i) = x_1 P(X = x_1) + + x_k P(X = x_k) Jeu équitable : si X modélise le gain algébrique d'un joueur, le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0. Linéarité : pour tous réels a et b, E(aX + b) = a E(X) + b. 3. Gain brut vs Gain algébrique net Le gain algébrique net est le gain brut diminué du prix de la mise : Gain net = Gain brut - Mise.

Dans ce chapitre

• Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
• Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
• Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
• Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
• Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
• Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
• Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
• Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
• Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
• Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
• Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
• Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
• Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision