Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno
À retenir
• Loi binomiale B(n, p) : répétition de n épreuves indépendantes à 2 issues. • Formule : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k. • Cas particuliers : P(X = 0) = (1 - p)^n et P(X = n) = p^n.
Le cours
1. Épreuve et schéma de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles : Le Succès S, de probabilité P(S) = p. L'Échec S, de probabilité P(S) = 1 - p. Un schéma de Bernoulli d'ordre n consiste à répéter n fois de façon identique et indépendante cette épreuve. 2. Définition de la loi binomiale B(n, p) Soit X la variable qui compte le nombre de succès parmi les n épreuves. On note X B(n, p). P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k pour k \0, 1, , n\ Le nombre nk (« k parmi n ») est le nombre de chemins de l'arbre comptant exactement k succès. 3. Propriétés des coefficients binomiaux n0 = 1, nn = 1, n1 = n et symétrie : nk = nn - k.
Dans ce chapitre
- Variables aléatoires et calcul d'espérance mathématique de Première Technologique
- Épreuve élémentaire de Bernoulli à deux issues de Première Technologique
- Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première Technologique
- Coefficients binomiaux nk et triangle de Pascal
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale B(n, p) en contexte technologique
- Calculs de probabilités cumulées P(X = k) à la calculatrice
- Prise de décision, intervalle de fluctuation à 95 % et contrôle qualité
- Représentation graphique de la loi binomiale par un diagramme en bâtons
- Condition de forme et symétrie de la distribution binomiale selon la valeur de p
- Contrôle de réception de lots industriels et plans d'échantillonnage
- Formule explicite de la loi binomiale P(X=k) = nk p^k (1-p)^n-k
- Moyenne et dispersion d'une variable binomiale : paramètres E(X)=np et (X)
- Recherche du nombre minimal d'essais pour garantir au moins un succès
- Bilan : Synthèse et méthode sur la loi binomiale et la prise de décision