Définition de la fonction exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• est l'unique fonction dérivable sur R telle que ' = et (0) = 1. • Notation : (x) = e^x, avec e = e^1 2,718 ; donc (e^x)' = e^x et e^0 = 1. • Pour tout réel x : e^x e^-x = 1 et e^x > 0 ; e^x ne s'annule jamais.

Le cours

1. Définition (théorème admis) Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f' = f et f(0) = 1. Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note . ' = et (0) = 1 2. Premières conséquences Pour tout réel x, (x) (-x) = 1 (on dérive le produit, qui est constant) : l'exponentielle ne s'annule jamais et (-x) = 1/(x). Pour tout réel x, (x) > 0 : on l'écrit (x) = ((x/2))^2, carré d'un nombre non nul (relation démontrée avec les propriétés algébriques). Comme ' = > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. 3. La notation e^x On note e = (1) 2,718. Les propriétés algébriques donnent (n) = e^n pour tout entier relatif n ; on étend cette notation à tout réel : (x) = e^x. Ainsi (e^x)' = e^x, e^0 = 1 et e^1 = e. 4. Méthode : utiliser la définition 1. Pour prouver qu'une fonction g est l'exponentielle, vérifier que g' = g et g(0) = 1 : l'unicité permet de conclure. 2. Pour une équation e^x = k avec k 0, conclure directement : aucune solution, car e^x > 0. 3. Pour la tangente au point d'abscisse 0 : '(0) = (0) = 1, d'où l'équation y = x + 1. 5. Attention L'exponentielle n'est pas une fonction puissance : dans e^x, c'est l'exposant qui varie. La dérivée de e^x est e^x, et non x\,e^x-1 comme le ferait croire la formule (x^n)' = n x^n-1.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle