Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Définition** : e = (1) 2,718. • **Tangente en 0** : la droite tangente à la courbe de l'exponentielle au point (0, 1) a pour coefficient directeur f'(0) = e^0 = 1 et pour équation y = x + 1. • **Encadrement classique** : 2,71 < e < 2,72.

Le cours

1. Définition du nombre e Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle. On l'appelle nombre d'Euler ou constante de Néper. e = (1) 2,718\,28 C'est un nombre irrationnel : son écriture décimale est illimitée et non périodique ; on n'en utilise que des valeurs approchées. L'encadrement 2,71 2. Pourquoi la notation e^x La relation (a + b) = (a) (b) donne (2) = (1) (1) = e^2, et plus généralement (n) = e^n pour tout entier relatif n. On prolonge la notation à tout réel : (x) = e^x. Valeurs utiles : e^2 7,39, e^-1 = 1/e 0,37, e^0,5 = e 1,65. 3. Approcher e par la méthode d'Euler Pour un petit pas h, la relation ' = donne l'approximation affine (x + h) (x) (1 + h). En partant de (0) = 1 et en avançant de n pas égaux à h = 1/n jusqu'à x = 1, on multiplie n fois par 1 + 1/n : e (1 + 1/n)^n Pour n = 10 : 2,593\,7 ; pour n = 100 : 2,704\,8 ; pour n = 1\,000 : 2,716\,9 ; pour n = 10\,000 : 2,718\,1. L'approximation s'améliore quand n augmente, mais lentement : il faut aller jusqu'à n = 1\,000 pour que les deux premières décimales (2,71) soient exactes. 4. Attention e est une constante, comme , et non une variable : e^2 est un nombre (environ 7,39). De plus, e^x n'est pas e x : pour x = 2, e^2 7,39 alors que 2e 5,44.

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