Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (e^ax+b)' = a\,e^ax+b et (u\,e^x)' = (u' + u)\,e^x. • e^a+b = e^a e^b ; e^a = e^b a = b ; e^a 0 : dans f'(x) = g(x)\,e^ax+b, le signe de f' est celui de g. • Tangente en 0 : y = x + 1, et e^x x + 1 pour tout réel x.

Le cours

La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0) = 1. Cette synthèse rassemble les résultats et les méthodes du chapitre. 1. L'essentiel sur e^x > 0 pour tout réel x, et (e^x)' = e^x : la fonction est strictement croissante sur R. e^0 = 1, e = e^1 2,718, e^-1 0,37, e^2 7,39. e^a+b = e^a e^b, e^-a = 1/e^a, e^a-b = e^a/e^b, (e^a)^n = e^na. Tangente en 0 : y = x + 1, et e^x x + 1 pour tout réel x. 2. Carte de décision : équations et inéquations 1. e^A(x) = e^B(x) A(x) = B(x) et e^A(x) 2. e^A(x) = k : si k 0, aucune solution ; si k > 0, écrire k comme puissance de e quand c'est possible (1 = e^0, e, 1/e, e^2…), sinon encadrer la solution par balayage (le logarithme viendra en Terminale). 3. a(e^x)^2 + b\,e^x + c = 0 : poser X = e^x > 0, résoudre le second degré, ne garder que les racines positives. 4. Facteur commun e^x : se ramener à un produit nul, sachant que e^x 0. 3. Étudier une fonction avec l'exponentielle 1. Dériver : (e^ax+b)' = a\,e^ax+b et (uv)' = u'v + uv'. 2. Factoriser la dérivée par l'exponentielle. 3. Étudier le signe du facteur restant, l'exponentielle étant strictement positive. 4. Dresser le tableau de variations et calculer les extremums ; pour une tangente, y = f'(a)(x - a) + f(a). 4. Modéliser une évolution f(t) = C\,e^kt avec C = f(0) : croissance si k > 0, décroissance si k < 0. Aux instants entiers, on retrouve une suite géométrique de raison e^k. Seuils, temps de doublement et demi-vies se déterminent par balayage, en s'appuyant sur la stricte monotonie.

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