Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Suite géométrique de raison q : u_n+1 = q u_n et u_n = u_0 q^n. • Entre deux rangs quelconques : u_n = u_p q^\,n-p, donc u_n/u_p = q^\,n-p. • Avec u_0 > 0 : si q > 1 la suite croît et dépasse tout seuil ; si 0 < q < 1 elle décroît vers 0. • Une hausse répétée de t\ \% correspond à la raison q = 1 + t/100.

Le cours

1. Suite géométrique et puissances Une suite (u_n) est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison : u_n+1 = q u_n. En répétant cette multiplication n fois à partir de u_0, on obtient la forme explicite : u_n = u_0 q^n Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p : u_n = u_p q^\,n-p. Si le premier terme est u_1, on écrit donc u_n = u_1 q^\,n-1. 2. Calculer avec les puissances de la raison 1. Le quotient de deux termes est une puissance de la raison : u_n/u_p = q^\,n-p (règle a^n/a^p = a^n-p). 2. Pour retrouver q à partir de deux termes connus, on résout q^\,n-p = u_n/u_p. 3. Une hausse de t\ \% répétée à chaque étape correspond à la raison q = 1 + t/100 (coefficient multiplicateur des évolutions successives vues en Seconde) ; une baisse de t\ \% à q = 1 - t/100. 3. Comportement selon la raison Avec u_0 > 0 et q > 0 : si q > 1, la suite est strictement croissante et finit par dépasser n'importe quel seuil, même très grand (croissance exponentielle discrète) ; si 0 4. Vers la fonction exponentielle La fonction exponentielle prolongera ce modèle à une variable réelle : la relation e^x+y = e^x e^y généralise la règle q^n+m = q^n q^m, et pour tout entier n, e^n = (e^1)^n est le terme d'une suite géométrique de raison e.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle