Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Expression** : e^-x = 1/e^x > 0 pour tout x R. • **Dérivée** : (e^-x)' = -e^-x. • **Sens de variation** : strictement décroissante sur R. • **Symétrie** : les courbes de y = e^x et y = e^-x sont symétriques par rapport à l'axe (Oy). • **Grandes valeurs de x** : e^-x devient très proche de 0 tout en restant strictement positif (amortissement exponentiel).

Le cours

1. La fonction x e^-x La fonction g définie sur R par g(x) = e^-x = 1/e^x s'obtient en appliquant l'exponentielle à -x. Elle est définie, dérivable et strictement positive sur R. La règle de dérivation de x f(ax + b), avec a = -1, donne : g'(x) = -e^-x La fonction x e^-x est donc strictement décroissante sur R. 2. Symétrie des deux courbes Le point M(a ; e^a) est sur la courbe de l'exponentielle si et seulement si le point M'(-a ; e^a) est sur la courbe de g, car g(-a) = e^-(-a) = e^a. Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ; elles se coupent au point (0 ; 1). 3. Valeurs repères g(-1) = e 2,72 ; g(0) = 1 ; g(1) = e^-1 0,37 ; g(2) = e^-2 0,14. Quand x augmente de 1, g(x) est divisé par e 2,72 : la courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre. 4. Méthode avec e^-x 1. Pour dériver k\,e^-x, ne pas oublier le facteur -1 : (k\,e^-x)' = -k\,e^-x. 2. Pour résoudre e^-x e^c, comparer les exposants (-x c) puis multiplier par -1 en changeant le sens (x -c). 3. Pour étudier une parité, calculer f(-x) : chaque e^x devient e^-x et inversement.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle