Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Modèle continu** : f(t) = C e^k t où C = f(0) est la valeur initiale à t = 0. • **Taux de croissance k** : - Si k > 0 : croissance (f'(t) = k C e^kt > 0). - Si k 0) : durée T telle que e^kT = 2. • **Demi-vie** (k < 0) : durée t_1/2 telle que e^k t_1/2 = 0,5.

Le cours

1. Le modèle f(t) = C\,e^kt Une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur, f'(t) = k\,f(t), est modélisée par : f(t) = C\,e^kt avec C = f(0) En effet, (C\,e^kt)' = kC\,e^kt = k\,f(t). 2. Croissance ou décroissance Avec C > 0 : si k > 0, f est strictement croissante (prolifération bactérienne, propagation d'une épidémie à ses débuts) ; si k 3. Lien avec les suites géométriques Aux instants entiers, f(n) = C\,(e^k)^n : la suite (f(n)) est géométrique de raison q = e^k. À chaque unité de temps, la grandeur est multipliée par le même facteur. Avec k = 0,1, e^0,1 1,105, soit une hausse d'environ 10,5\ \% par unité de temps. 4. Méthode 1. Lire C = f(0) et le coefficient k (son signe, et son unité : « par heure », « par an »…). 2. Calculer f(t) pour une durée donnée, ou f'(t) = k\,f(t) pour la vitesse d'évolution. 3. Pour un temps de doublement ou une demi-vie : la durée ne dépend pas de C ; on l'encadre par balayage à la calculatrice, en s'appuyant sur la monotonie (la valeur exacte utilise le logarithme, vu en Terminale).

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle