Étude de la fonction exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (e^x)' = e^x > 0 : x e^x est strictement croissante sur R. • e^a = e^b a = b et e^a 1 x > 0 et 0 < e^x < 1 x < 0.

Le cours

1. Dérivée et sens de variation Pour tout réel x, (e^x)' = e^x et e^x > 0. La dérivée est donc strictement positive sur R : x e^x \ est strictement croissante sur\ R 2. Conséquences pour comparer Pour tous réels a et b : e^a = e^b a = b et e^a 1 x > 0 et 0 3. Valeurs repères et allure de la courbe e^-2 0,14 ; e^-1 0,37 ; e^0 = 1 ; e^1 2,72 ; e^2 7,39. La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e) et reste au-dessus de l'axe des abscisses ; elle s'en rapproche vers la gauche et monte de plus en plus vite vers la droite : quand x augmente de 1, l'ordonnée est multipliée par e 2,72. Sa tangente au point d'abscisse 0 a pour équation y = x + 1. 4. Méthode : comparer deux exponentielles 1. Écrire les deux nombres sous la forme e^a et e^b (avec 1 = e^0, e = e^1, 1/e^c = e^-c). 2. Comparer les exposants a et b, en étudiant le signe de a - b si besoin. 3. Conclure dans le même ordre, par stricte croissance de l'exponentielle.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle