Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Formule de dérivation** : avec u(x) = ax + b (u'(x) = a) et v(x) = e^x (v'(x) = e^x) : f'(x) = a e^x + (ax + b)e^x = (ax + a + b)e^x • **Règle du signe** : e^x > 0 pour tout x, donc signe(f'(x)) = signe(ax + a + b). • L'extremum éventuel est atteint là où le facteur affine s'annule : x_0 = -a + b/a.

Le cours

1. Dérivée d'un produit (affine) × exponentielle Pour f(x) = (ax + b)e^x avec a 0, on pose u(x) = ax + b et v(x) = e^x ; alors u'(x) = a et v'(x) = e^x. La formule (uv)' = u'v + uv' donne, après factorisation par e^x : f'(x) = a\,e^x + (ax + b)e^x = (ax + a + b)\,e^x 2. Signe de f et signe de f' Comme e^x > 0 pour tout réel x : le signe de f(x) est celui de ax + b, qui s'annule en -b/a ; le signe de f'(x) est celui de ax + a + b, qui s'annule en x_0 = -a+b/a = -b/a - 1. L'extremum se trouve donc toujours une unité à gauche du point où la courbe coupe l'axe des abscisses, et il vaut f(x_0) = -a\,e^x_0. 3. Méthode 1. Dériver avec la formule du produit, en n'oubliant pas le terme (ax + b)e^x. 2. Factoriser par e^x. 3. Étudier le signe du facteur affine restant (tableau de signes). 4. Dresser le tableau de variations et calculer l'extremum. Exemple : pour f(x) = (x - 3)e^x, f'(x) = (x - 2)e^x ; f décroît sur ]- ; 2], croît sur [2 ; +[, et son minimum vaut f(2) = -e^2 -7,39. 4. Attention au signe de a Si a 0, donc f admet un maximum en 0, égal à f(0) = 1.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle