Propriétés algébriques de l'exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• e^a+b = e^a e^b : la somme des exposants devient un produit. • e^-a = 1/e^a et e^a-b = e^a/e^b. • (e^a)^n = e^na pour tout entier relatif n, et e^a/2 = e^a.

Le cours

1. Relation fonctionnelle Pour tous réels a et b : e^a+b = e^a e^b L'exponentielle transforme une somme en produit. Démonstration : à b fixé, la fonction g(x) = e^x+be^b vérifie g' = g et g(0) = 1, donc g = par unicité. 2. Conséquences Inverse : e^-a = 1/e^a. Quotient : e^a-b = e^a/e^b. Puissance : (e^a)^n = e^na pour tout entier relatif n. Racine carrée : e^a/2 = e^a, car (e^a/2)^2 = e^a et e^a/2 > 0. 3. Méthode pour simplifier 1. Transformer les inverses et les quotients en exposants négatifs. 2. Regrouper en une seule exponentielle en additionnant ou soustrayant les exposants, avec des parenthèses autour des exposants composés. 3. Face à une somme d'exponentielles, factoriser ou développer (identités remarquables) en utilisant e^a e^-a = 1. Exemple : e^2x e^3e^x+1 = e^2x + 3 - (x+1) = e^x+2. 4. Attention Aucune règle ne simplifie une somme : e^a + e^b e^a+b (pour a = b = 0 : 1 + 1 = 2 alors que e^0 = 1). De même, e^x^2 (e^x)^2 = e^2x.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle