Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (e^ax+b)' = a\,e^ax+b pour tous réels a et b. • e^ax+b > 0 : x e^ax+b est croissante si a > 0, décroissante si a < 0. • Produit : (u(x)\,e^ax+b)' = (u'(x) + a\,u(x))e^ax+b.

Le cours

1. Dérivée de e^ax+b Pour tous réels a et b, la fonction f : x e^ax+b est dérivable sur R. C'est la fonction x g(ax + b) avec g = ; la règle (g(ax+b))' = a\,g'(ax+b) donne : (e^ax+b)' = a\,e^ax+b Exemples : (e^3x)' = 3e^3x ; (e^-x)' = -e^-x ; (e^-0,5x+2)' = -0,5\,e^-0,5x+2. 2. Sens de variation de x e^ax+b Comme e^ax+b > 0, la dérivée a le signe de a : si a > 0, la fonction est strictement croissante ; si a 3. Méthode pour un produit u(x) e^ax+b 1. Poser v(x) = e^ax+b, donc v'(x) = a\,e^ax+b. 2. Appliquer (uv)' = u'v + uv'. 3. Factoriser par e^ax+b : f'(x) = (u'(x) + a\,u(x))e^ax+b. 4. Étudier le signe du seul facteur u'(x) + a\,u(x), puisque e^ax+b > 0. 4. Attention Le facteur qui sort est le coefficient a de x dans l'exposant, pas la constante b : (e^2x+5)' = 2e^2x+5, et non 5e^2x+5 ni e^2x+5. Dans un produit, ce facteur apparaît dans le terme uv'.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle