Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• f'(x) > 0 sur I f strictement croissante sur I. • f'(x) < 0 sur I f strictement décroissante sur I. • Si f' s'annule en a en changeant de signe, f admet un extremum local en a ; l'annulation seule ne suffit pas : (x^3)' = 3x^2 s'annule en 0 sans extremum.

Le cours

1. Nombre dérivé et tangente Si f est dérivable en a, le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Cette tangente a pour équation : y = f'(a)(x - a) + f(a) Dérivées à connaître : (x^n)' = n x^n-1, (1/x)' = -1/x^2, (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = u'v - uv'/v^2. 2. Signe de la dérivée et sens de variation Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I : si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I ; si f'(x) si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I. Le résultat reste vrai si f' s'annule seulement en quelques points isolés : x x^3 est strictement croissante bien que sa dérivée s'annule en 0. 3. Méthode d'étude des variations 1. Calculer f'(x) et la factoriser le plus possible. 2. Étudier le signe de chaque facteur, puis celui de f'(x) dans un tableau de signes. 3. En déduire le tableau de variations ; là où f' s'annule en changeant de signe, calculer la valeur de f : c'est un extremum local. 4. Utilité dans ce chapitre On démontrera que (e^x)' = e^x et que e^x > 0 : la fonction exponentielle sera donc strictement croissante sur R, et dans un produit g(x) e^x, seul le signe de g(x) décidera du signe.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle