Équations et inéquations avec l'exponentielle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• e^A = e^B A = B et e^A 0. • Écrire 1 = e^0 et e = e^1 pour se ramener à une égalité d'exponentielles.

Le cours

1. Propriétés utilisées La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R, pour toutes expressions A(x) et B(x) : e^A(x) = e^B(x) A(x) = B(x) e^A(x) Comme e^A(x) > 0, une équation e^A(x) = k avec k 0 n'a aucune solution. 2. Méthode selon la forme 1. Se ramener à e^A = e^B en écrivant les constantes comme des exponentielles : 1 = e^0, e = e^1, 1/e = e^-1, e^2… 2. Forme a(e^x)^2 + b\,e^x + c = 0 : poser X = e^x avec X > 0, résoudre l'équation du second degré, éliminer les racines négatives ou nulles, puis résoudre e^x = X. 3. Facteur commun : e^2x - e^x = 0 e^x(e^x - 1) = 0 e^x = 1 x = 0, car e^x 0. 4. Produit ou quotient : tableau de signes, sachant que e^x - e^c a le signe de x - c. 3. Attention au sens des inégalités Le sens se conserve quand on passe des exponentielles aux exposants, mais il change si l'on divise ensuite par un nombre négatif : e^-2x > e^4 -2x > 4 x 4. Limites de la méthode en Première Une équation comme e^x = 3, où 3 ne s'écrit pas simplement comme une puissance de e, a une unique solution que l'on encadre par balayage à la calculatrice (e^1,09 2,97 et e^1,10 3,004, donc la solution est entre 1,09 et 1,10) ; sa valeur exacte s'écrira en Terminale avec le logarithme népérien.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle