Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Tangente en 0** : y = x + 1, car e^0 = 1 et le nombre dérivé en 0 vaut e^0 = 1. • **Inégalité** : pour tout réel x, e^x x + 1. • **Cas d'égalité** : e^x = x + 1 x = 0. • **Approximation** : pour x proche de 0, e^x 1 + x.

Le cours

1. Tangente au point d'abscisse 0 Pour f = : f(0) = e^0 = 1 et f'(0) = e^0 = 1. La tangente T_0 au point d'abscisse 0 a pour équation y = f'(0)(x - 0) + f(0), soit : T_0 : y = x + 1 Elle passe par les points (0 ; 1) et (-1 ; 0) et a pour coefficient directeur 1. 2. Inégalité fondamentale Pour tout réel x, e^x x + 1, avec égalité si et seulement si x = 0. Graphiquement, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en 0 et ne la touche qu'au point (0 ; 1). 3. Méthode de démonstration : la fonction différence 1. Poser (x) = e^x - (x + 1), différence des deux membres. 2. Dériver : '(x) = e^x - 1, négative pour x 0. 3. En déduire que admet un minimum en 0, égal à (0) = 0. 4. Conclure : (x) 0, donc e^x x + 1 pour tout réel x. Cette méthode (étudier le signe d'une différence) sert à toute comparaison entre une courbe et une droite. 4. Approximation affine près de 0 Près de 0, la courbe et sa tangente sont très proches : e^x 1 + x. Par exemple e^0,02 1,02 (valeur exacte 1,020\,2). L'erreur grandit quand on s'éloigne de 0 : e^1 2,72 alors que 1 + 1 = 2.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques des puissances entières et relatives de Seconde
• Suites géométriques et puissances entières, modèle discret de l'exponentielle
• Dérivée d'une fonction et sens de variation de Première
• Définition de la fonction exponentielle
• Nombre e et approximation décimale de la base de l'exponentielle
• Propriétés algébriques de l'exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle
• Étude de la fonction exponentielle décroissante exp(-x) et symétries
• Dérivée de x e^ax+b et produits avec l'exponentielle
• Variations et signe de fonctions du type f(x) = (ax + b)e^x
• Équations et inéquations avec l'exponentielle
• Tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 et inégalité e^x x + 1
• Modélisation de croissances et décroissances exponentielles continues
• Bilan : Synthèse et méthode sur La fonction exponentielle