Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• f''(x) est la dérivée de f'(x). • Tangente horizontale si f'(x_0) = 0. • f'(x_0) = 0 et f''(x_0) > 0 minimum local en x_0. • f'(x_0) = 0 et f''(x_0) < 0 maximum local en x_0. • En mécanique : a(t) = x''(t).

Le cours

Dérivée seconde et concavité Pour une fonction deux fois dérivable f sur un intervalle I : Dérivée seconde : f'' = (f')'. Elle renseigne sur la courbure (concavité) de la courbe représentative. Points critiques : si f'(x_0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en x_0. Test de la dérivée seconde pour les extremums : Si f'(x_0) = 0 et f''(x_0) > 0, alors f admet un minimum local en x_0 (courbe convexe tournée vers le haut). Si f'(x_0) = 0 et f''(x_0) maximum local en x_0 (courbe concave tournée vers le bas). Lien avec la physique de laboratoire En cinétique ou mécanique de laboratoire, si la position est x(t), la vitesse est v(t) = x'(t) et l'accélération est a(t) = x''(t). L'accélération est la dérivée seconde de la position.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées