Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Pas de discrétisation : h = t = t_n+1 - t_n. • Formule d'Euler : y_n+1 = y_n + h y'_n. • La dérivée y'_n est évaluée par l'équation différentielle : y'_n = f(t_n, y_n). • Un pas h plus petit réduit l'erreur de troncature.

Le cours

Principe de discrétisation de la méthode d'Euler Pour une équation différentielle y'(t) = f(t, y(t)) avec la condition initiale y(t_0) = y_0, on approxime la courbe par une suite de segments de tangente avec un pas de calcul h = t : Approximation de la dérivée : y'(t_n) y_n+1 - y_nh Algorithme récursif d'Euler : t_n+1 = t_n + h y_n+1 = y_n + h y'_n = y_n + h f(t_n, y_n) Précision et convergence : l'erreur globale est proportionnelle au pas h (méthode d'ordre 1). Diminuer le pas améliore la fidélité de la simulation mais augmente le nombre d'itérations. Mise en œuvre sur tableur ou calculatrice Trois colonnes suffisent : le temps t_n, la grandeur y_n et la dérivée y'_n = f(t_n, y_n). On tire les formules vers le bas pour générer la trajectoire numérique.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées